L'exploration continue

Il reste de très nombreux territoires à explorer et beaucoup de coquillages arithmétiques à trouver.
Dans ce site, et pour l'instant, rien n'est dit ou presque sur les calculs sur les fractions, alors que les Egyptiens s'y adonnaient déjà.
Rien non plus sur l'étonnement des Grecs quand ils ont démontré (Euclide) que la racine carrée de 2 ne pouvait être rationnelle.
Rien non plus sur la quête des décimales de pi ou sur celle du plus grand nombre premier.
Et enfin, last but not least, presque rien sur la façon dont nos ordinateurs calculent aujourd'hui : quels algorithmes pour ces opérations fondamentales de l'arithmétique ?

La fin de l'aventure du calcul ?

En 1992, après la chute du mur de Berlin, Francis Fukuyama a cru pouvoir annoncer la fin de l'Histoire. L'histoire s'est empressé de le contredire. De même, certains ont pensé qu'avec l'électronique et l'arrivée de l'ordinateur l'aventure du calcul était terminée. C'est tout aussi faux.

Voilà quelques pistes de recherches très actives qui prolongent nos 5000 ans d'arithmétique :

• Les algorithmes pour la multiplication des entiers de grande taille sont en pleine progression avec, par exemple, l'algorithme de Karatsuba
  
  
• Les débats philosophiques soulevés par le calcul sont liés à notre conception réaliste ou non des objets mathématiques. Ces objets existent-ils en dehors de nous, ou ne sont-ils que des outils que nous inventons pour nous servir ? S'ils existent vraiment, pourquoi ne pas dire alors que la terre et le soleil, ensemble, "calculent" l'ellipse sur laquelle la terre tourne ? Je vous renvoie vers l'excellent ouvrage récent de Gualtiero Piccinini sur ces questions Physical Computation.
  
  
• Pour finir, toutes les machines à calculer présentées ici, mais aussi toutes celles concues à ce jour qu'elles soient mécaniques ou électroniques, sont des machines de Turing dédiées à des tâches particulières (avec quelques exceptions en particulier quand les machines dysfonctionnent et pour le calcul analogique). Ce sont des machines qui ont des états internes et qui traitent les données qui leur sont fournies en fonction de ces états internes pour produire à la fois des changements d'états internes et des données en sortie. D'où cette dernière question : peut-on faire des opérations arithmétiques avec des machines qui ne suivent pas la structure des machines de Turing ?

Et pour aller plus loin, quelques ressources bibliographiques ici.